Polynôme symétrique

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Un polynôme en $n$ variables $P$ appartenant à $A[X_1,\dots,X_n]$ est dit symétrique si, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $$P(X_{\sigma(1)},\dots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,\dots,X_n).$$

Dans $\mathbb R[X,Y,Z]$, les polynômes $X+Y+Z$, $XY+YZ+ZX$, $XYZ$ sont des polynômes symétriques.

Les trois polynômes présentés ci-dessus ne sont pas choisis de façon anodine. Tous les polynômes symétriques de $\mathbb R[X,Y,Z]$ peuvent s'écrire comme produits et sommes de ceux-là. Plus généralement, on introduit la définition suivante :

Ainsi, pour $1\leq p\leq n,$ $\Sigma_p$ est la somme de tous les produits à $p$ facteurs de ses indéterminées (il y a donc $\binom np$ termes dans la somme).

Les polynômes symétriques élémentaires génèrent l'algèbre des polynômes symétriques :

Ce théorème est particulièrement intéressant lorsqu'il est mis en parallèle avec les relations coefficients/racines. Rappelons que si $P\in A[X]$ s'écrit $$P(X)=\left\{ \begin{array}{l} a_n X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1 X+a_0\\ a_n(X-\alpha_1)\cdots (X-\alpha_n) \end{array}\right.$$ alors \begin{align*} \sigma_p&:=\Sigma_p(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\\ &=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_p\leq n}\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_p}\\ &=(-1)^p\frac{a_{n-p}}{a_n}. \end{align*} En vertu du théorème précédent, on va pouvoir exprimer toute fonction symétrique des racines en fonction des coefficients du polynôme.

Si $P$ est un polynôme symétrique en $X_1,\dots,X_n$, il existe des méthodes efficaces pour déterminer le polynôme $g$ tel que $P=g(\Sigma_1,\dots,\Sigma_n)$. D'abord, on décompose $P$ en sommes de polynômes homogènes. On peut donc supposer que $P$ est homogène de degré $p.$

On munit ensuite $\mathbb N$ de l'ordre lexicographique. On écrit $$P=\sum_{\nu\in\mathbb N^n}a_\nu X_1^{\nu_1}\cdots X_n^{\nu_n}$$ et on considère $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_n)$ le $n$-uplet le plus grand tel que $a_\nu\neq 0$. On a alors $\mu_1\geq\cdots\geq \mu_n$. On pose : $$P_1=P-a_\mu ( \Sigma_1)^{\mu_1-\mu_2}(\Sigma_2)^{\mu_2-\mu_1}\cdots \Sigma_{n-1}^{\mu_{n-1}-\mu_n}\Sigma_n^{\mu_n}.$$ Le polynôme $P_1$ est homogène de degré $p.$ Si $b_\nu$ est le coefficient non nul de ce polynôme tel que $\nu$ est le plus grand possible dans l'ordre lexicographique, alors $\nu<\mu$. On continue alors avec $P_1$ et, de proche en proche, on détermine $g$, puisqu'à chaque étape on va diminuer strictement l'ordre lexicographique.