Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Polynômes et fractions rationnelles > Familles de polynômes >
Polynômes interpolateurs de Lagrange
Définition : Soit $n\in\mathbb N^*$ et
soient $a_1,\dots,a_n\in \mathbb K$ distincts deux à deux. Pour tout $i$ de $\{1,\dots,n\}$, on
appelle $i$-ème polynôme interpolateur de Lagrange associé
aux $a_1,\dots,a_n$
le polynôme de degré $n-1$
$$L_i(X)=\prod_{j\neq i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}.$$
Les polynômes interpolateurs possèdent la propriété fondamentale suivante :
$$L_i(a_k)=\left\{
\begin{array}{cc}
1&\textrm{ si }i=k\\
0&\textrm{ si }i\neq k.
\end{array}\right.$$
Ils permettent de fabriquer des polynômes de degré $n-1$ prenant une valeur donnée en chaque
$a_i$. Précisément, on a le théorème suivant :
Théorème : Soit $n\in\mathbb N^*$ et
soient $a_1,\dots,a_n\in \mathbb K$ distincts deux à deux. On note $L_i$ le $i$-ème polynôme de Lagrange associé aux
$a_1,\dots,a_n$. Alors
- Pour toute famille $(b_1,\dots,b_n)$ d'éléments de $\mathbb K$, le polynôme $$Q=\sum_{i=1}^{n}b_i L_i$$ est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$ et vérifiant $Q(a_i)=b_i$ pour tout $i$ de $\{1,\dots,n\}$.
- Pour tout polynôme $P$ de $\mathbb K_{n-1}[X]$, on a $$P=\sum_{i=1}^n P(a_i)L_i.$$
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique