Polynômes et matrices de Hurwitz
Un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ est appelé polynôme de Hurwitz si toutes ses racines sont de partie réelle strictement négative. On a la caractérisation suivante des polynômes de Hurwitz :
Théorème :
Soit $P\in\mathbb R[X]$ écrit sous forme factorisée $P(X)=\prod_{k=1}^n (X-z_k)$. Soit $Q$ le polynôme
dont les racines sont les sommes deux à deux des racines de $P$ :
$$Q(X)=\prod_{1\leq i<j\leq n}\big(X-(z_i+z_j)\big).$$
Alors $P$ est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de $P$ et de $Q$
sont strictement positifs.
On dit aussi qu'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une matrice de Hurwitz si toutes ses valeurs propres ont une partie réelle strictement négative. Ces matrices sont utilisées dans la théorie des équations différentielles. Si $A$ est une telle matrice, alors la solution nulle est une solution asymptotiquement stable du système différentiel $x'=Ax$ : tout solution $x$ vérifie $x(t)\to 0$ quand $t\to+\infty.$
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