Polynôme caractéristique
Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$. On appelle polynôme caractéristique de $A$ le polynôme
$$\chi_A(X)=\det(XI_n -A).$$De même, si $u$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, on appelle polynôme caractéristique de $u$ le polynôme caractéristique de toute matrice $A$ représentant $u$ dans une base de $E$.
Le polynôme caractéristique ...caractérise les valeurs propres d'une matrice (ou d'un endomorphisme).
Proposition : Un nombre réel ou complexe $\lambda$ est une valeur propre de $A$
si et seulement si c'est une racine de son polynôme caractéristique.
Ainsi, lorsqu'on cherche à diagonaliser ou trigonaliser une matrice, on commence souvent par calculer son polynôme caractéristique que l'on factorise afin d'obtenir les valeurs propres de la matrice.
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