Polyèdres

Un polyèdre est un solide de l'espace délimité par un nombre fini de polygones, tel que chaque côté de chaque polygone est commun avec un côté d'un autre polygone. Les sommets des polygones sont appelés sommets du polyèdre, les côtés des polygones sont appelés arêtes du polyèdre, tandis que les polygones sont les faces du polyèdre.

Un polyèdre est dit convexe si, pour chaque plan de l'espace qui contient une face du polyèdre, le polyèdre est tout entier dans un des demi-espaces délimité par le plan. Pour ces polyèdres convexes, on a la célèbre relation d'Euler, qui relie le nombre de faces $F$, le nombre de sommets $S$, le nombres d'arêtes $A$ : $$F+S=A+2.$$

Il n'existe que 5 polyèdres convexes qui sont réguliers (c'est-à-dire que leurs faces sont des polygones réguliers). On les appelle aussi les solides de Platon. Ils sont :

Remarquons que sur tous ces polyèdres, la relation d'Euler est vérifiée!

Le philosophe athénien Platon n'est pour rien dans la découverte des cinq polyèdres convexes réguliers. Ils étaient connus plus de 1000 ans avant lui, et c'est au mathématicien grec Théétète que l'on doit la première preuve du fait qu'il n'en existe pas d'autres. Platon les rendit célèbres par une théorie les associants aux éléments du cosmos : le feu est associé au tétraèdre, la terre à l'hexaèdre, l'air à l'octaèdre et l'eau à l'icosaèdre. Quant au dodécaèdre, avec ses faces pentagonales, Platon prétendait qu'il s'agissait de la forme de l'univers.