Polynômes orthogonaux
Soit $]a,b[$ un intervalle de $\mathbb R$ et $w$ un poids défini sur $]a,b[$, c'est-à-dire une fonction continue strictement positive définie sur $]a,b[$. On suppose en outre que pour tout entier naturel $n$, l'intégrale $\int_a^b |x|^n w(x)dx$ converge. On considère $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $]a,b[$ telles que $$\|f\|_2=\sqrt{\int_a^b |f(x)|^2 w(x)dx}<+\infty.$$ $E$ est muni du produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)w(x)dx.$$ Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt donne l'existence d'une unique suite $(P_n)_{n\in\mathbb N}$ de polynômes unitaires, orthogonaux 2 à 2 pour le produit scalaire de $E$, et tels que $\deg(P_n)=n$ pour tout entier naturel $n$. Ces polynômes sont appelés polynômes orthogonaux pour le poids $w$. Les familles de polynômes orthogonaux les plus importantes (et les plus étudiées) sont les suivantes :
- $]a,b[=]0,+\infty[,$ $w(x)=e^{-x},$ polynômes de Laguerre.
- $]a,b[=]-\infty,+\infty[,$ $w(x)=e^{-x^2},$ polynômes de Hermite.
- $]a,b[=]-1,1[,$ $w(x)=1,$ polynômes de Legendre.
- $]a,b[=]-1,1[,$ $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$ polynômes de Tchebychev.
- $]a,b[=]-1,1[,$ $w(x)=(1-x)^\alpha (1+x)^{\beta},$ polynômes de Jacobi.
Les familles de polynômes orthogonaux vérifient toujours deux propriétés particulièrement intéressantes :
- $P_n$ possède $n$ zéros distincts dans $]a,b[$. En particulier, il est scindé à racines simples.
- La suite $(P_n)$ vérifie une relation de récurrence d'ordre 2 $$P_n(X)=(X-\lambda_n)P_{n-1}(X)+\mu_n P_{n-2}(X),$$ avec $$\lambda_n=\frac{\langle XP_{n-1},P_{n-1}\rangle}{\|P_{n-1}\|^2},\ \mu_n=-\frac{\|P_{n-1}\|^2}{\|P_{n-2}\|^2}.$$