Polynôme annulateur, polynôme minimal

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, soit $u$ un endomorphisme de $E$, et soit $P$ un polynôme de $\mathbb K[X]$. On dit que $P$ est un polynôme annulateur pour $u$ si $P(u)=0$.

Puisque $\mathcal L(E)$ est de dimension $n^2$, la famille $(Id,u,u^2,\dots,u^{n^2})$, qui comporte $n^2+1$ vecteurs, est liée. En particulier, il existe toujours un polynôme annulateur non nul pour $u$. Notons $I$ l'ensemble des polynômes annulateurs de $u$. C'est un idéal de $\mathbb K[X]$. L'anneau $\mathbb K[X]$ étant principal, il existe un unique polynôme unitaire $P_u$ tel que $I=(P_u)$. Ce polynôme $P_u$ s'appelle le polynôme minimal de $u$.

Le polynôme minimal s'avère un outil (théorique) très important pour la réduction des endomorphismes. Par exemple, on a le résultat suivant :

En particulier, les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines du polynôme minimal.