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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Polynômes et fractions rationnelles >

Pôle d'une fraction rationnelle

Définition : Soit $\displaystyle F=\frac PQ$ une fraction rationnelle de $\mathbb K(X)$ écrite sous forme irréductible. On dit que $\alpha$ est un pôle de $F$ de multiplicité $m$ lorsque $\alpha$ est une racine de multiplicité $m$ de $Q$.
Autrement dit, $\alpha$ est un pôle de $F$ de multiplicité $m$ si $F$ peut s'écrire $$F(X)=\frac{P(X)}{(X-\alpha)^m Q_1(X)}$$ avec $P(\alpha)\neq 0$ et $Q_1(\alpha)\neq 0$.

Remarques et exemples
  • Les pôles dépendent du corps dans lequel on travaille. Par exemple, la fraction rationnelle $\frac 1{X^2+1}$ n'admet pas de pôles comme élément de $\mathbb R(X)$, mais elle admet $i$ et $-i$ comme pôles de $\mathbb C(X)$.
  • Toute fraction rationnelle de $\mathbb C(X)$ admet des pôles.
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