Identités de polarisation

On appelle identités de polarisation les identités qui permettent d'exprimer une forme bilinéaire symétrique en fonction de la forme quadratique associée. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb K=\mathbb C$ (plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de $2$), soit $f:E\times E\to\mathbb K$ une forme bilinéaire symétrique et $q$ la forme quadratique associée définie par $q(x)=f(x,x)$ pour $x\in E.$ Alors, pour tous $x,y\in E$ : \begin{eqnarray*} f(x,y)&=&\frac12\big(q(x+y)-q(x)-q(y)\big)\\ &=&\frac 12\big(q(x)+q(y)-q(x-y)\big)\\ &=&\frac 14\big(q(x+y)-q(x-y)\big). \end{eqnarray*}

En particulier, si $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel, et si $\|\cdot\|$ est la norme associée, on a : $$\langle x,y\rangle=\frac14\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).$$ Ces formules sont souvent utiles pour obtenir des informations sur une forme bilinéaire symétrique quand on ne connaît des informations que sur la forme quadratique associée. Par exemple, si $f$ est une forme bilinéaire symétrique telle que $f(x,x) = 0$ pour tout $x\in F,$ où $F$ est un sous-espace vectoriel de $E,$ alors $f$ est nulle sur le sous-espace vectoriel $F \times F,$ c'est-à-dire que $f(x,y) = 0$ pour tous $x,y\in F.$

Il existe aussi des identités de polarisation pour les formes hermitiennes (plus généralement pour les formes sesquilinéaires à gauche) : si $f$ est une telle forme hermitienne sur un $\mathbb C$-espace vectoriel $E,$ et si $q(x)=f(x,x)$ pour $x\in E$, alors on a pour tous $x,y\in E$, $$f(x,y) = \frac 14 \big(q(x+y) - q(x-y) + iq(x-iy) - iq(x+iy)\big).$$