$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Ensemble polaire

Soit $E$ un espace euclidien et $P$ une partie de $E$. Le polaire de $P$ est la partie $P^\circ$ de $E$ définie par $$P^\circ=\left\{y\in E:\ \forall x\in P,\ \langle y,x\rangle\leq 1\right\}.$$ Le polaire du polaire de $P$, noté $P^{\circ\circ},$ s'appelle encore le bipolaire de $P.$

Exemples

  • dans le plan, le polaire du carré de sommets $(1,1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$, $(1,-1)$ est le carré de sommets $(1,0),$ $(0,1),$ $(-1,0),$ $(0,-1).$
  • plus généralement, le polaire de la boule pour la norme $\|\cdot\|_p$ est la boule de la norme $\|\cdot\|_q$ où $p,q\in[1,+\infty]$ sont tels que $\frac 1p+\frac 1q=1.$
  • le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second.
Proposition : Soit $E$ un espace euclidien, $P$, $P_1,$ $P_2$ des parties de $E$. Alors :
  • $P^\circ$ est un convexe fermé contenant l'origine.
  • Si $P_1\subset P_2,$ alors $P_2^\circ\subset P_1^\circ.$
  • $P^\circ=P$ si et seulement si $P$ est la boule unité fermée de $E$ pour la norme induite par le produit scalaire.
  • $P^{\circ\circ}=P$ si et seulement si $P$ est un convexe fermé contenant l'origine.
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