Formule sommatoire de Poisson
Théorème : Soit $F:\mathbb R\to\mathbb C$ une fonction continue et intégrable sur $\mathbb R$. On définit sa transformée de Fourier par :
$$\hat F(x)=\int_{\mathbb R}e^{-2\pi ixt}f(t)dt.$$
On suppose en outre que $F$ vérifie les deux conditions suivantes :
$$\left\{
\begin{array}l
\displaystyle \exists M>0,\ \exists\alpha>1,\ \forall x\in\mathbb R, |F(x)|\leq M/(1+|x|^\alpha),\\
\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z}|\hat F(n)|<+\infty.
\end{array}\right.$$
Alors on a :
$$\sum_{n\in\mathbb Z}\hat F(n)=\sum_{n\in\mathbb Z}F(n).$$
Cette formule magnifique, qui relie les valeurs entières d'une fonction et de sa transformée de Fourier, a de nombreuses applications, notamment en théorie des nombres où elle permet de calculer les sommes de certaines fonctions arithmétiques.
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