Noyau de Poisson
On appelle noyau de Poisson la fonction définie sur le disque unité de $\mathbb C$ par $$P(re^{i\theta})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}r^{|n|}e^{in\theta},\ 0\leq r<1,\ \theta\in\mathbb R.$$ Il s'exprime aussi par la formule $$P(re^{i\theta})=\Re e\left(\frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}\right)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta)+r^2}$$ et vérifie les propriétés suivantes : $$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P(re^{i\theta})d\theta=1,\ P(re^{i\theta})>0,\ \lim_{r\to 1}P(re^{i\theta})=0\textrm{ si }\theta\neq 0\ [2\pi].$$
Si $f$ est définie et intégrable sur le cercle unité, à valeurs dans $\mathbb R,$ on définit son intégrale de Poisson $P(f)$ par convolution de $f$ avec le noyau de Poisson. Autrement dit, on pose $$P(f)(re^{i\theta})=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P(re^{i(\theta-t)})f(t)dt.$$ La fonction $P(f)$ est une fonction harmonique dans le disque, qui admet des limites radiales presque partout sur le cercle, égales à $f$. Le noyau de Poisson est donc un moyen (en fait, le seul) de prolonger une fonction intégrable sur le cercle en une fonction harmonique dans le disque.