Point fixe

Soit $E$ un ensemble et $f:E\to E$. On dit que $\gamma\in E$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma.$ Si $f$ est définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, cette propriété se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative de $f$ coupe la droite d'équation $y=x$ en le point $(\gamma,\gamma).$

La recherche des points fixes est souvent liée à l'étude des suites récurrentes :

La proposition précédente est vraie dans un cadre bien plus général, par exemple en remplaçant $I$ par un espace vectoriel normé, ou un espace métrique. L'équation $f(x)=x$ s'appelle équation aux limites possibles.

Nous nous plaçons désormais dans le cas particulier où $I$ est un intervalle et où $f:I\to I$ est dérivable sur $I$. On suppose de plus que $\ell$ est un point fixe de $f.$ Le comportement des suites récurrentes définies par $u_0\in I$ (et même $u_0$ "proche de" $\ell$) et $u_{n+1}=f(u_n)$ dépend de $f'(\ell).$

On dit que le point fixe $\ell$ est attractif si $|f'(\ell)|<1.$ On dit qu'il est répulsif si $|f'(\ell)|>1.$

Bien sûr, cette terminologie n'est pas due au hasard. Supposons en outre $f'$ continue en $\ell.$ Alors si $\ell$ est attractif, il existe $k\in [0,1[$ et $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[$, $|f'(x)|\leq k.$ En appliquant l'inégalité des accroissements finis, on prouve que si $u_0\in ]\alpha-\ell,\alpha+\ell[,$ alors la suite $(u_n)$ converge vers $\ell.$ Si $\ell$ est répulsif, cette fois, il existe $k>1$ et $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[$, $|f'(x)|\geq k.$ Donc si la suite $(u_n)$ s'approche de $\ell$ de sorte que $u_n\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[,$ l'itération suivante, on a : $|u_{n+1}-\ell|\geq k |u_n-l|\geq |u_n-\ell|,$ et donc on s'écarte de $\ell.$ Ainsi, lorsque $\ell$ est un point fixe répulsif, une suite $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ ne peut converger vers $\ell$ que si elle stationne en $\ell.$

Le cas où $|f'(\ell)|=1$ peut donner lieu à l'un ou l'autre des comportements précédents. Par exemple, si $f(x)=\sin(x),$ le point fixe $0$ se comporte comme un point fixe attractif. Pour $f(x)=x+x^3,$ le point fixe $0$ se comporte comme un point fixe répulsif.

Plaçons-nous maintenant dans le cas d'un point fixe attractif. Le signe de $f'(\ell)$ influence la façon dont la suite $(u_n)$ converge vers $\ell.$

$f'(\ell)>0$	$f'(\ell)<0$
On montre facilement qu'au voisinage de $\ell$, la suite est monotone, croissante ou décroissante. On dit qu'on a affaire à une convergence en escalier.	Cette fois, la suite n'est plus monotone, mais les deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de signe de monotonie opposés. On dit qu'on a affaire à une convergence en colimaçon.