Plan tangent

Soit $(u,v)\in U\mapsto M(u,v)$ une nappe paramétrée de classe $\mathcal C^1,$ et $M_0=M(u_0,v_0)$ un point régulier de cette nappe. Alors l'ensemble des tangentes en $M_0$ aux arcs paramétrés tracés sur cette nappe et passant par $M_0$ forme un plan qui s'appelle le plan tangent à la nappe en $M_0$.

Le plan tangent à la nappe en $M_0$ est le plan passant par $M_0$ et de vecteurs directeurs $$\left(\frac{\partial M}{\partial u}(u_0,v_0),\frac{\partial M}{\partial v}(u_0,v_0)\right).$$

On considère une surface implicite donnée par une équation du type $F(x,y,z)=0,$ pour $(x,y,z)$ appartenant à un ouvert $U$ de $\mathbb R^3.$ On considère $M_0=(x_0,y_0,z_0)$ un point régulier sur la surface. Alors localement autour de $M_0$, la surface peut être décrite par une nappe paramétrée. Elle admet donc un plan tangent dont une équation cartésienne est donnée par : $$\frac{\partial F}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(M_0)(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(M_0)(z-z_0)=0.$$