Transformée de Plancherel
On ne peut pas en général définir la transformée de Fourier d'une fonction de $L^2(\mathbb R)$ par la formule usuelle car l'intégrale $\int_{\mathbb R}e^{-ixt}f(t)dt$ n'a pas de raison d'exister pour une fonction quelconque de $L^2(\mathbb R).$ Toutefois, on peut étendre la transformée de Fourier aux fonctions de $L^2(\mathbb R)$ par le théorème suivant :
Théorème : Soit $f$ une fonction de $L^2(\mathbb R)$. Pour $A>0$, on définit :
$$\varphi_A(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(t)e^{-ixt}dt.$$
Alors, $\varphi_A$ converge dans $L^2(\mathbb R)$ quand $A$ tend vers l'infini
vers une fonction $\mathcal F(f)$ qu'on appelle transformée de Fourier-Plancherel de $f$.
En outre, si $f$ est dans $L^1(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R)$,
alors $\mathcal F(f)$ coïncide avec la transformée de Fourier usuelle de $f$.
Enfin, l'application $f\mapsto \mathcal F(f)$ est un automorphisme isométrique de $L^2(\mathbb R)$. Si on pose
$$\psi_A(f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^{A} \mathcal F(f)(t) e^{ixt} dt,$$
alors $\|\psi_A(f)-f\|_2\to 0$ lorsque $A\to+\infty.$
Une conséquence du théorème précédent est que, pour tout couple $(f,g)$ de $L^2(\mathbb R),$ alors $$\langle \mathcal F(f),\mathcal F(g)\rangle=\langle f,g\rangle.$$ En particulier, $$\|\mathcal F(f)\|_2=\|f\|_2.$$
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