Arithmétique de Peano
En 1889, le mathématicien italien Peano répertoria les propriétés structurelles de l'ensemble des entiers naturels $\mathbb N$ afin d'en donner une construction axiomatique. Les notions de départ de l'arithmétique de Peano sont le zéro et le successeur, à partir desquels Peano reconstruit toutes les propriétés de $\mathbb N.$ De manière informelle, les 5 axiomes de Peano pour définir $\mathbb N$ sont :
- $0$ est un entier naturel.
- Tout entier naturel $a$ possède un successeur, noté $S(a).$
- Il n'existe pas d'entier naturel dont le successeur est $0.$
- Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.
- Si une propriété est vérifiée par $0$ et si, pour tout entier naturel $a$ qui la vérifie, $S(a)$ la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.
Ce dernier axiome assure notamment le fait que l'on puisse faire des raisonnements par récurrence. L'addition et la multiplication sont alors définies par récurrence :
- Pour l'addition, $a+0=a,$ et $a+S(b)=S(a+b).$
- Pour la multiplication, $a×0=0,$ et $a×S(b)=a×b+a.$
Ainsi, si l'on écrit de façon formelle les axiomes, on obtient l'écriture suivante :
- pour tout $x,$ $( \textrm{non}( S(x) = 0 ) )$
- pour tout $x,$ pour tout $y,$ $( ( s(x) = s(y) ) => ( x = y ) )$
- pour tout $x,$ $x + 0 = x$
- pour tout $x,$ pour tout $y,$ $( x + s(y) = s(x+y) )$
- pour tout $x,$ $x \times 0 = 0$
- pour tout $x,$ pour tout $y,$ $( x \times s(y) = ( x \times y ) + x ).$
Le besoin d'introduire une axiomatisation des entiers naturels correspond
à un courant très fort dans les mathématiques de la fin du XIXè siècle. Sous l'impulsion de Frege, Russell, Hilbert,
la logique doit venir au fondement des mathématiques.
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