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Trois problèmes grecs

La trisection de l'angle, la duplication du cube, et la quadrature du cercle sont trois problèmes grecs classiques. Leur point commun est de vouloir construire à partir d'une figure, une autre figure vérifiant certaines propriétés, en n'utilisant que la règle et le compas.

  • la trisection de l'angle : peut-on, avec une règle et un compas, partager un angle en trois angles égaux ?
  • la duplication du cube : peut-on, avec une règle et un compas, construire un cube de volume double à un cube donné ?
  • la quadrature du cercle : peut-on, avec une règle et un compas, construire un carré de même aire qu'un disque donné ?

Pour ces trois problèmes, la réponse est : Non, il est impossible de le faire. Derrière ce résultat se cachent des résultats profonds de théorie des corps obtenus au XVIIIè et XIXè siècle et une compréhension de la nature arithmétique de nombres comme $\pi$ ou $\sqrt[3]2.$ Par exemple, l'impossibilité de la quadrature du cercle est une conséquence de la transcendance de $\pi.$

De nos jours, l'expression réaliser la quadrature du cercle est passée dans le langage courant pour désigner quelque chose qu'on n'a aucune chance de réussir !

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