$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Le paradoxe du prince de Toscane

Le prince de Toscane avait remarqué que, bien qu'il y ait autant de façons d'écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombres compris entre 1 et 6, on obtient plus souvent un total de 10 lorsqu'on lance 3 dés. Galilée lui donna une explication de ce paradoxe, que l'on formule ici en langage moderne.

Il y a effectivement autant de façons d'écrire 9 que 10 comme somme de 3 chiffres inférieurs ou égaux à 6 : $$9=\left\{\begin{array}{l} 1+2+6\\ 1+3+5\\ 1+4+4\\ 2+2+5\\ 2+3+4\\ 3+3+3 \end{array}\right. \quad\quad\quad\quad 10=\left\{\begin{array}{l} 1+3+6\\ 1+4+5\\ 2+2+6\\ 2+3+5\\ 2+4+4\\ 3+3+4 \end{array}\right.$$ Pour autant, ces écritures ne sont pas équivalentes : il n'y a qu'une seule façon d'obtenir $9$ sous la forme $3+3+3$ : chaque dé doit avoir la valeur $3$. A l'opposé, pour obtenir $10$ sous la forme $1+3+6,$ on choisit d'abord un dé parmi 3 qui vaut 1, puis un dé parmi les deux restants qui vaut 3, et le dernier vaut 6 : cela fait 6 façons!

Si l'on veut calculer la probabilité pour que la somme des chiffres fasse 9 ou 10, il faut donc avoir recours à un dénombrement précis des cas possibles. Si $i,j,k$ sont 3 chiffres compris entre 1 et 6, on note $P(\{i,j,k\})$ la probabilité d'obtenir le triplet (non ordonné) $\{i,j,k\}$. On a : $$\begin{array}{rcll} P(\{i,j,k\})&=&\frac{6}{216}&\textrm{ si $i,j,k$ sont deux à deux distincts}\\ P(\{i,j,k\})&=&\frac{3}{216}&\textrm{ si $i=j\neq k$}\\ P(\{i,j,k\})&=&\frac{1}{216}&\textrm{ si $i=j=k$}. \end{array}$$ On a donc : $$P(\textrm{Somme vaut }9)=\frac{6+6+3+3+6+1}{216}=\frac{25}{216}\simeq 0,\!116$$ $$P(\textrm{Somme vaut }10)=\frac{6+6+3+6+3+3}{216}=\frac{27}{216}\simeq 0,\!125.$$ La différence est faible. Il fallait que le prince de Toscane soit un sacré joueur pour pouvoir la détecter!

Recherche alphabétique
Recherche thématique