Partie finie

La partie finie est un moyen pour associer une distribution à une fonction non localement intégrable. Prenons l'exemple de $x_+^a$, avec $a\leq -1$ et $x^+=\max(x,0).$ On peut prouver que pour toute fonction $g$ de classe $\mathcal C^\infty$ à support compact, $$\int_{\veps}^{+\infty}x^a g(x)dx=P(\veps)+R(\veps)$$ où $P(\veps)$ est une combinaison linéaire de puissances strictement négatives de $\veps$ et de $\ln(\veps),$ et où $R(\veps)$ admet une limite quand $\veps\to 0.$ On appelle partie finie de $x_+^a$ la distribution définie par $$\langle \textrm{pf}(x_+^a),g\rangle=\lim_{\veps\to 0}R(\veps).$$