Paradoxe de Sierpiński-Mazurkiewicz

On identifie le plan à $\mathbb C$. Considérons $u$ un nombre complexe transcendant de module 1, $t$ la translation $z\mapsto z+1$ et et $r$ la rotation $z\mapsto uz$. On note enfin $$E=\{P(u);\ P\in\mathbb N[X]\},\ A=t(E),\ B=r(E).$$ Alors $A$ et $B$ sont clairement isométriques à $E$. De plus, $A$ et $B$ sont disjoints, sinon il existerait deux polynômes $Q$ et $R$ de $\mathbb N[X]$ tels que $$R(u)+1=uQ(u)\iff R(u)-uQ(u)+1=0.$$ Puisque $u$ est transcendant, ceci impliquerait que $R-XQ+1=0$ ce qui n'est pas possible puisque le coefficient constant de $R+1$ est non-nul (rappelons que $R$ est un élément de $\mathbb N[X]$) alors que celui de $XQ$ est nul.

Enfin, $A$ et $B$ forme une partition de $E$ : si $P\in\mathbb N[X]$, ou bien son coefficient constant est nul et $P$ s'écrit $XQ$, avec $Q\in\mathbb N[X]$, ou bien il ne l'est pas et $P$ s'écrit $R+1$, avec $R\in\mathbb N[X]$.