Nombres $p$-adiques
Comme les nombres réels sont construits à partir des nombres rationnels en complétant $\mathbb Q$ pour la topologie induite par la valeur absolue, les nombres $p$-adiques sont obtenus en complétant $\mathbb Q$, mais pour une topologie différente, celle induite par la distance $p$-adique.
On fixe donc un nombre premier $p$ et on définit d'abord la valuation $p$-adique de la façon suivante :
- Si $n$ est un entier relatif non nul, la valuation $p$-adique de $n$, notée $v_p(n)$, est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$.
- Si $r=a/b$ est un rationnel, on pose $v_p(r)=v_p(a)-v_p(b)$. Ceci ne dépend pas du représentant $a/b$ choisi pour le rationnel $r$.
- On pose aussi $v_p(0)=+\infty$.
La valeur absolue $p$-adique d'un rationnel $r$ est alors définie par : $$|r|_p=p^{-v_p(r)}$$ avec la convention $|0|_p=0.$ On prouve que $|\cdot|_p$ est une valeur absolue sur $\mathbb Q$, avec des propriétés très différentes de la valeur absolue usuelle. Par exemple,
- Plus $|r|_p$ est petit, plus une grande puissance de $p$ divise $r$. Ainsi, un rationnel peut avoir une très grande valeur absolue, et une très petite valeur absolue $p$-adique. Par exemple, $$ \begin{array}{rcl} |250|_5&=&|2^1\times 5^3|_5=5^{-3}=\frac1{125}\\ \left|\frac{13}{1750}\right|_5&=&\left|2^{-1}\times 5^{-3}\times 7^{-1}\times 13\right|_5=5^3=125. \end{array} $$
- La distance $p$-adique définie sur $\mathbb Q$ par $d_p(x,y)=|x-y|_p$ est une distance ultramétrique : $$\forall (x,y,z)\in\mathbb Q^3,\ d_p(x,z)\leq \max(d_p(x,y),d_p(y,z)).$$
Le corps des nombres $p$-adiques, noté $\mathbb Q_p$, est le complété de $\mathbb Q$ pour la norme $p$-adique. Muni de cette norme, $\mathbb Q_p$ est localement compact, et ses parties compactes sont les parties fermées et bornées. De plus $\mathbb Q_p$ n'est pas dénombrable.
On peut encore décrire autrement les nombres $p$-adiques. Si $n$ est un entier positif, il s'écrit de façon unique sous la forme $$n=\sum_{i=0}^m a_i p^i,\ a_i\in\{0,\dots,p-1\}.$$
La suite $(a_i)$ est définie par
- $a_0$ est l'entier de $\{0,…,p-1\}$ qui est congru à $n$ modulo $p$;
- $a_{j+1}$ est l'entier de $\{0,…,p-1\}$ qui est congru à $$\frac{n-\sum_{i=0}^j a_ip^i}{p^j}.$$ modulo $p$.
Les nombres $p$-adiques sont ceux qui s'écrivent $$r=\sum_{i=k}^{+\infty}a_i p^i,\ a_i\in\{0,\dots,p-1\},\ k\in\mathbb Z.$$ Cette série est convergente pour la distance $p$-adique. L'écriture précédente s'appelle décomposition de Hensel de $r$.
Finalement, l'ensemble des entiers $p$-adiques, noté $\mathbb Z_p$, est l'ensemble des éléments $r$ de $\mathbb Q_p$ s'écrivant $$r=\sum_{i=0}^{+\infty}a_i p^i,\ a_i\in\{0,\dots,p-1\}.$$ C'est un sous-anneau de $\mathbb Q_p$ vérifiant les propriétés suivantes :
- il est principal, ses idéaux sont $\{0\}$ et les $p^n\mathbb Z_p,$ $n \in\mathbb N\ ;$
- ses éléments inversibles sont les entiers $p$-adiques de valuation $0\ ;$
- ses idéaux premiers sont $\{0\}$ et $p\mathbb Z_p\ ;$
- il admet un unique idéal maximal qui est $p\mathbb Z_p;$
- $(\mathbb Z_p,d_p)$ est un espace métrique compact admettant $\mathbb N$ comme partie dense ;
- $\mathbb Z_p$ n'est pas dénombrable ;
- $\mathbb Z_p$ est un anneau local ;
- $\mathbb Z_p$ est un anneau de valuation discrète (car principal, local et d'idéal maximal non nul).
Les nombres $p$-adiques ont été introduits par Hensel en 1897.
Son idée était de pouvoir utiliser la théorie des séries entières en arithmétique. Depuis, toute une branche des
mathématiques, l'analyse $p$-adique, s'est développée sur ses idées.