$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Courbes et surfaces >

Plan osculateur

  Soit (I,f) un arc paramétré de l'espace R3 et C=f(I) la courbe paramétrée associée. En un point régulier M=f(t) de la courbe, on peut associer une droite tangente, dirigée par le vecteur f'(t). Cette droite tangente est contenue dans une infinité de plans, qui sont tous tangents à la courbe. Parmi ces plans tangents, il en est un qui joue un rôle particulier, le plan osculateur.

Définition - Théorème : Soit (I,f) un arc paramétré de R3 et C=f(I) la courbe associée. On appelle plan osculateur de C en M=f(t) le plan limite, s'il existe, des plans tangents à f(t) astreints à passer par M(t+h), lorsque h tend vers 0.

Si f est Cm, et s'il existe deux vecteurs f(k)(t) et f(l)(t) qui sont linéairement indépendants, on note

Alors M possède un plan osculateur en t de vecteurs directeurs f(p)(t), f(q)(t).

  Lorsque l'arc est trirégulier, on a encore une autre caractérisation du plan osculateur : c'est le seul plan tangent qui est traversé par la courbe.

Le mot osculateur vient du latin "osculare", caresser.
Recherche alphabétique
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Recherche thématique
  • Algèbre
  • Analyse
  • Applications
  • Arithmétique
  • Probabilité et statistiques
  • Géométrie
  • Fondements
  • Histoire
  • Mathématiques discrètes
  • Mathématiques interactives