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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie dans l'espace >

Tétraèdre orthocentrique

Un tétraèdre est orthocentrique lorsque ses hauteurs sont concourantes (on rappelle que la hauteur issue de $A$ du tétraèdre $ABCD$ est l'unique droite passant par $A$ et perpendiculaire au plan $BCD$). Le théorème suivant caractérise les tétraèdres orthocentriques :

Théorème : Soit $T$ un tétraèdre $ABCD$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. $T$ est orthocentrique;
  2. les trois couples d'arêtes opposées sont formées d'arêtes orthogonales;
  3. $AC^2+BD^2=AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$.

En particulier, un tétraèdre régulier est orthocentrique.

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