Nappe paramétrée orientable

Rappelons que deux nappes paramétrés $(U,f)$ et $(V,g)$ sont $C^k$-équivalentes s'il existe un $C^k$-difféomorphisme $\theta$ de $U$ sur $V$ tel que l'on ait $f=g\circ\theta.$

Si $U$ et $V$ sont supposés connexes, le jacobien d'un difféomorphisme de $U$ sur $V$ ne change pas de signe. Ceci permet d'affiner la classification des nappes paramétrées en introduisant leur orientation.

Soient $(U,f)$ et $(V,g)$ deux nappes paramétrées. On dit qu'elles sont $O^k$-équivalentes s'il existe un $C^k$-difféomorphisme à jacobien positif $\theta$ de $U$ sur $V$ tel que l'on ait $f=g\circ\theta.$ On dit qu'une nappe paramétrée $(U,f)$ est orientable si la relation "être $O^k$-équivalente" possède exactement deux classe d'équivalence dans l'ensemble des nappes paramétrées $C^k$-équivalentes à $(U,f).$ Orienter une nappe paramétrée, c'est alors choisir une de ces deux classes d'équivalence.

Intuitivement, une nappe paramétrée est orientable si on peut définir le "dessus" et le "dessous", ou bien "l'intérieur" et "l'extérieur" de la nappe. Pensons par exemple à un plan ou à une sphère. Mais, alors qu'un arc paramétré régulier est toujours orientable, ce n'est pas le cas pour une nappe paramétrée régulière. Le ruban de Möbius ou la bouteille de Klein sont deux exemples de nappes paramétrées qui ne sont pas orientables.