Orientation d'un arc paramétré

Rappelons que deux arcs paramétrés $(I,f)$ et $(J,g)$ sont $C^k$-équivalents s'il existe un $C^k$-difféomorphisme $\theta$ de $I$ sur $J$ tel que l'on ait $f=g\circ\theta.$

Un difféomorphisme d'un intervalle de $\mathbb R$ vers un intervalle de $\mathbb R$ étant strictement monotone, il est soit strictement croissant, soit strictement décroissant. Ceci permet d'affiner la classification des arcs paramétrés en introduisant leur orientation.

Soient $(I,f)$ et $(J,g)$ deux arcs paramétrés. On dit qu'ils sont $O^k$-équivalents s'il existe un $C^k$-difféomorphisme strictement croissant $\theta$ de $I$ sur $J$ tel que l'on ait $f=g\circ\theta.$

Si $C$ est un arc géométrique, on peut regrouper ensemble tous les arcs paramétrés dont l'arc géométrique associé est $C$ et qui sont $O^k$ équivalents. On définit ainsi une relation d'équivalence.

On dit qu'un arc géométrique est orientable s'il est la réunion d'exactement deux classes d'équivalence pour la relation être $O^k$-équivalent. Orienter un arc géométrique, c'est choisir l'une de ces deux classes.

Par exemple, les deux arcs paramétrés $$([0,2\pi],t\mapsto(\cos(t),\sin(t))\textrm{ et }([0,2\pi],t\mapsto(\cos(t),-\sin(t))$$ définissent deux orientations différentes du cercle unité. La première est appelée orientation dans le sens trigonométrique, la seconde orientation dans le sens des aiguilles d'une montre.

De nombreux arcs géométriques sont orientables. Par exemple, tous les arcs géométriques simples. Intuitivement, un tel arc a deux extrémités $A$ et $B.$ Choisir une orientation, c'est choisir un sens de parcours, de $A$ vers $B$ ou de $B$ vers $A.$ Tous les arcs réguliers sont également orientables.