$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre pure >

Ordre filtrant

Soit $(E,\leq)$ un ensemble (partiellement) ordonné et $F$ une partie de $E.$ On dit que $F$ est un filtre si :

  • Pour tous $x,y$ dans $E,$ il existe $z$ dans $F$ tel que $z\leq x$ et $z\leq y;$
  • Pour tout $x$ de $F$ et tout $y$ de $E$, si $x\leq y$, alors $y$ est dans $F.$

On peut remarquer qu'un filtre au sens ensembliste est en fait un filtre pour la relation d'ordre d'inclusion.

On dit que l'ordre $\leq$ sur $E$ est filtrant (à droite) si, pour tout $(x,y)\in E^2$, il existe $z\in E$ tel que $x\leq z$ et $y\leq z.$ Il est dit filtrant à gauche si, pour tout $(x,y)\in E^2$, il existe $z\in E$ tel que $z\leq x$ et $z\leq y.$

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