Matrice résolvante - opérateur résolvant
Résolvante d'une matrice
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Pour tout $\lambda\in\mathbb C$ qui n'est pas une valeur propre de $A$, on appelle résolvante de $A$ en $\lambda$ la matrice
$$R(\lambda,A)=(\lambda I-A)^{-1}.$$
L'ensemble résolvant est la partie de $\mathbb C$ sur laquelle la résolvante est définie. Autrement dit, l'ensemble résolvant est le complémentaire du spectre de $A$.
Résolvante d'une application linéaire
On considère $X'(t)=A(t)X(t)$ un système différentiel linéaire homogène, où $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une fonction continue définie sur un intervalle $I$
de $\mathbb R$ et où on cherche une solution $X:I\to\mathbb R^n$.
Théorème :
Soit $t_0\in I$. On appelle matrice résolvante (ou opérateur résolvant) en $t_0$ du système l'unique solution du système différentiel défini sur $I$ par
$$R'(t)=A(t)R(t),\ R(t_0)=I_n$$
où $R:I\to\mathcal M_n(\mathbb R)$. On la note $R(t;t_0)$.
Il s'agit donc de résoudre un système qui a la même matrice que le système précédent, mais on cherche cette fois non un vecteur solution, mais une matrice solution.
La matrice résolvante vérifie les propriétés suivantes :
- Pour tout $t_1,t_2,t_3\in I$, on a $R(t_0;t_1)R(t_1;t_2)=R(t_0;t_2)$;
- Pour tout $t_0,t_1\in I$, la matrice $R(t_0;t_1)$ est inversible, et $R(t_0;t_1)^{-1}=R(t_1;t_0)$;
- L'unique solution $X$ du problème $$\left\{ \begin{array}{rcl} X'(t)&=&A(t)X(t)\\ X(t_0)&=&X_0 \end{array}\right.$$
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