Groupe opérant sur un ensemble
Soit $G$ un groupe et $X$ un ensemble. On appelle action (ou opération) de $G$ sur $X$ toute application de $G\times X$ dans $X$, qui à un couple $(g,x)\in G\times X$ associe un élément $g\cdot x$ de $X$, telle que :
- Pour tout $x$ de $X$, $e\cdot x=x$ (où $e$ désigne l'élément neutre de $G$).
- Pour tous $g,h$ de $G$ et tout $x\in X$, $g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$.
Cette définition est équivalente à la donnée d'un morphisme de groupes $\phi$ de $G$ dans le groupe des bijections de $X$, ces deux définitions étant liées par $g\cdot x = (\phi(g))(x)$ pour tout $g$ dans $G$ et tout $x$ dans $X$.
L'action est dite
- fidèle si, étant donné $g\in G$ tel que $g\cdot x=x$ pour tout $x$ de $X$, alors $g=e$ (c'est-à-dire si l'intersection de tous les stabilisateurs est réduite à l'élément neutre). Ceci revient à dire que le morphisme $\phi$ introduit ci-dessus est injectif.
- libre si, étant donnés $g\in G$ et $x\in X$ avec $g\neq e$, on a $g\cdot x\neq x$ (c'est-à-dire que le stabilisateur de tout élément est réduit au neutre). Une action libre est toujours fidèle.
- transitive si, pour tous $x$ et $y$ de $X$, il existe $g$ de $G$ tel que $g\cdot x=y$. Une action est donc transitive si et seulement si elle possède une unique orbite, qui est alors nécessairement égale à $X.$
- simplement transitive si elle est à la fois libre et transitive. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un et un seul élément du groupe : $$\forall (x,y)\in X^2,\ \exists ! g\in G,\ y=g\cdot x.$$ Une action fidèle et transitive d'un groupe abélien est simplement transitive. Une action transitive d'un groupe fini $G$ sur un ensemble $X$ est simplement transitive si et seulement si $G$ et $X$ ont même cardinal.
Exemples :
- On peut faire opérer un groupe $G$ sur lui-même par :
- translation à gauche : $g\cdot x=gx$;
- automorphisme intérieur : $g\cdot x=gxg^{-1}$.
- Si $s$ est une permutation de $\{1,...,n\},$ et $G$ est sous-groupe de $S_n$ engendré par $s,$ alors $G$ opère sur $\{1,...,n\}$ par : $s^k\cdot i=s^k(i)$.
La notion d'action de groupe est FONDAMENTALE en algèbre. Elle permet :
- de résoudre des problèmes combinatoires (comme prouver que le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe).
- de classer des objets : décomposition d'une permutation en produits de cycles à supports disjoints, classification des isométries de l'espace en fonction de leurs invariants.
- de construire de nouveaux objets (définition abstraite des espaces affines, des angles orientés...)
- de résoudre quantité d'autres problèmes (déterminer l'ensemble des isométries laissant invariant un cube...)
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