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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Polynômes et fractions rationnelles >

Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert est un théorème qui relie les zéros d'un polynôme avec le fait d'appartenir à un idéal.

Théorème : Soit $\mathbb K$ un corps algébriquement clos (par exemple $\mathbb C$), soit $n\in\mathbb N^*$ et soit $I$ un idéal de $\mathbb K[X_1,\dots,X_n]$. On note $V(I)$ l'ensemble des zéros communs des éléments de $I$, c'est-à-dire $$V(I)=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n:\ \forall Q\in I,\ Q(x_1,\dots,x_n)=0\}.$$ Alors, pour tout $P\in\mathbb K[X_1,\dots,X_n]$ tel que $P(x_1,\dots,x_n)=0$ pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in V(I)$, il existe un entier naturel $q\geq 1$ tel que $P^q \in I$.

Un des corollaires de ce théorème est que si $I$ est un idéal propre de $\mathbb K[X]$, alors $V(I)$ est non vide (et donc tous les polynômes de $I$ ont un zéro commun, ce qui explique le nom du théorème, baptisé Nullstellensatz en allemand). Sinon, $1=1^q$ serait dans $I$, ce qui est impossible si $I$ est propre! L'exemple de l'idéal $I$ engendré par $X^2+1$ dans $\mathbb R[X]$ montre que le fait que le corps soit algébriquement clos est très important. Une version réelle est la suivante : si $P(x)=0$ dès que $Q(x)=0$, alors il existe un entier naturel $q\geq 1$ et un polynôme $S$ qui est une somme de carrés telle que $P^q+S$ appartienne à l'idéal engendré par $Q$.

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