Norme, etc...

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Une norme sur $E$ est une application $N$ de $E$ dans $\mathbb R_+$ vérifiant les conditions suivantes pour tous $x,y$ dans $E$ :

La deuxième relation s'appelle l'inégalité triangulaire. L'espace $E$, muni de la norme $N$, s'appelle espace vectoriel normé.

Exemples : Sur $\mathbb R^n,$ on définit les normes classiques suivantes : pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n,$ $$\|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|,$$ $$\|x\|_2=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2},$$ $$\|x\|_\infty=\sup_{i=1,\dots,n}|x_i|.$$

Soit $E$ un espace vectoriel que l'on munit de deux normes $N$ et $N'$. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux réels strictement positifs $a$ et $b$ telles que : $$\forall x\in E,\ aN(x)\leq N'(x)\leq b N(x).$$ Par exemple, les normes $\|\cdot\|_1,$ $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_\infty$ définies ci-dessus sont équivalentes sur $\mathbb R^n$ : elles vérifient l'inégalité $$\frac 1n \|x\|_1\leq \|x\|_\infty \leq \|x\|_2\leq \|x\|_1$$ valable pour tout $x\in\mathbb R^n.$

En revanche, si $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, les normes suivantes ne sont pas équivalentes : $$\|f\|_\infty=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|,\ \|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt.$$ L'idée est que si $f$ est grand sur un intervalle petit, la norme infinie de $f$ sera grande alors que la norme 1 de $f$ restera raisonnable. Plus précisément on peut considérer la suite de fonctions suivante dont la représentation graphique est donnée ci-dessous : $$f_n(x)=\left\{ \begin{array}{ll} n-n^2 x&\textrm{ si }x\in [0,1/n]\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$

Pour tout $n\in\mathbb N,$ on a $\|f_n\|_1=1/2$ tandis que $\|f_n\|_\infty=n.$ Il ne peut donc pas exister une constante $C>0$ telle que $\|f\|_\infty\leq C\|f\|_1$ pour tout $f\in\mathcal C([0,1],\mathbb R).$

L'intérêt des normes équivalentes est qu'elles définissent la même topologie sur un espace normé : mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes suites convergentes...

Si $E$ a une structure d'algèbre, par exemple $E$ est l'algèbre des matrices carrées d'ordre $n$ sur $\mathbb R$, une norme matricielle ou norme d'algèbre $N$ sur $E$ est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, $N$ est une norme matricielle sur $E$ lorsque, pour tous $A$ et $B$ de $E,$ on a $$N(AB)\leq N(A)N(B).$$

Soit $(E_1,\|\cdot\|_1),\dots,(E_n,\|\cdot\|_n)$ des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit $E=E_1\times\cdots\times E_n$ l'une des normes suivantes (on a posé $x=(x_1,\dots,x_n)$) :

$N_1(x)=|\|x_1\|_1+\cdots+\|x_n\|_n$;

$N_2(x)=\sqrt{\|x_1\|_1^2+\cdots+\|x_n\|_n^2}$;

$N_\infty(x)=\max_{i=1,\dots,n}\|x_i\|_i$.

Ces normes sur $E$ sont équivalentes et donc définissent les mêmes ouverts. Ces ouverts correspondent aux ouverts de la topologie produit de $E=E_1\times\cdots\times E_n$.