Endomorphisme normal
Définition :
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien ou hermitien, et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que u
est normal si $u$ et $u^*$ commutent,
c'est-à-dire si $uu^*=u^*u$.
Les endomorphismes normaux ont de bonnes propriétés de diagonalisation dans des bases orthonormées.
Cas réel :
Théorème :
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est normal
si et seulement si il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$
est une matrice diagonale par blocs :
- de taille 1;
- ou de taille 2 de la forme
Cas complexe :
Théorème :
Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est normal
si et seulement si il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$
est diagonale.
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