Nombres pentagonaux
Les nombres pentagonaux sont des nombres figurés dont la construction est réalisée à partir de pentagones réguliers. On construit successivement les figures suivantes :- La première figure consiste en un seul point et $P_1=1$.
- La deuxième figure consiste en un pentagone régulier de côté 1cm dont un sommet est le point précédent. Le nombre pentagonal $P_2$ compte le nombre de sommets de ce polygone, à savoir $P_2=5$.
- La troisième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un pentagone régulier de côté 2cm dont deux côtés sont communs avec le pentagone précédent. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre pentagonal $P_3$ est le nombre de points marqués, à savoir $P_3=12$.
- La quatrième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un pentagone régulier de côté 3cm dont deux côtés sont communs avec les pentagones précédents. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre pentagonal $P_4$ est le nombre de points marqués, à savoir $P_3=22$.
Théorème : Le $n$-ième nombre pentagonal $P_n$ est égal à
$$P_n=\frac{3n^2-n}2.$$
Une façon de prouver ce résultat est de remarquer que la suite $(P_n)$ vérifie la relation de récurrence
$$P_{n+1}=P_n+(3n+1).$$
La suite $(u_n)$ définie par $u_n=P_{n+1}-P_n$ est alors une suite arithmétique (de raison 3), et par les formules
habituelles, il est facile de calculer $u_1+\dots+u_{n-1}$. Mais,
$$u_1+\dots+u_{n-1}=P_n.$$
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