Nombres carrés
Les nombres carrés sont des nombres figurés dont la construction est réalisée à partir de carrés. On construit successivement les figures suivantes :- La première figure consiste en un seul point et $C_1=1$.
- La deuxième figure consiste en un carré de côté 1cm dont un sommet est le point précédent. Le nombre carré $C_2$ compte le nombre de sommets de ce polygone, à savoir $C_2=4$.
- La troisième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un carré de côté 2cm dont deux côtés sont communs avec le carré précédent. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre carré $C_3$ est le nombre de points marqués, à savoir $C_3=9$.
- La quatrième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un carré de côté 3cm dont deux côtés sont communs avec les carrés précédents. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre carré $C_4$ est le nombre de points marqués, à savoir $C_4=16$.
Théorème : Le $n$-ième nombre carré $C_n$ est égal à
$$C_n=n^2.$$
Les nombres carrés dans le sens décrit ci-dessous sont donc les carrés parfaits!
Une façon de prouver ce résultat est de remarquer que la suite $(C_n)$ vérifie la relation de récurrence
$$C_{n+1}=C_n+(2n+1).$$
La suite $(u_n)$ définie par $u_n=C_{n+1}-C_n$ est alors une suite arithmétique (de raison 2), et par les formules
habituelles, il est facile de calculer $u_1+\dots+u_{n-1}$. On en déduit $C_n$ car
$$u_1+\dots+u_{n-1}=C_n.$$
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