Le nombre d'or
Le nombre d'or est le nombre irrationnel $$\phi=\frac{1+\sqrt 5}2\simeq 1,\!6180339\cdots.$$ C'est la plus grande des racines de l'équation $x^2-x-1=0.$ Ce nombre a acquis, bien au-delà de son intérêt mathématique propre, une dimension architecturale, poétique voire même mystique! On présente dans cet article quelques problèmes où interviennent le nombre d'or, le joyau de la géométrie selon Képler.
On appelle division en moyenne et extrême raison la division d'un segment $[AB]$ par un point intérieur $P$ tel que $\frac{AB}{AP}=\frac{AP}{PB}.$ On dit encore que $P$ est la section dorée du segment $[AB].$ Remarquons aussi que $AP$ est la moyenne géométrique de $AB$ et de $PB$, c'est-à-dire que $$\frac{2}{AP}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{PB}.$$ On peut vérifier que cette condition impose que les rapports $\frac{AB}{AP}$ et $\frac{AP}{PB}$ sont égaux au nombre d'or. On dit souvent que pour l'oeil, la division en moyenne et extrême raison est la plus agréable. Ceci rend le nombre d'or très important en architecture. Jugez sur le dessin ci-dessous.
Soit un rectangle de longueur $L,$ de largeur $c.$ Otons lui un carré de côté $c$ :
Le rectangle est dit de divine proportion si pour ce rectangle comme pour le rectangle qu'il reste une fois le carré ôté, le rapport entre longueur et largeur est le même. On démontre que ce rapport ne peut alors être que le nombre d'or! Autrement dit : $$\frac{L}c=\frac{c}{L-c}\implies \frac Lc=\frac{1+\sqrt 5}2.$$ On dit que le Parthénon d'Athènes est a peu près inscriptible dans un rectangle de divine proportion.
La prolifération des lapins a été étudiée par le mathématicien italien Léonard de Pise, dit Fibonacci, au Moyen-Age. Ses recherches étaient fondées sur les hypothèses simplificatrices suivantes :
- Au départ (génération 1), il y a un unique couple de lapins.
- Ce couple de lapins ne procrée pas à la deuxième génération, mais il engendre à partir de la troisième génération, et à chaque génération, un autre couple de lapins.
- Chaque couple ainsi engendré se comporte de la même façon que le premier couple : la première génération après sa naissance, il ne procrée pas, puis à chaque génération, il engendre un nouveau couple.
Quel est le nombre de lapins à la $n$-ème génération??? On note $u_n$ ce nombre. On a les relation suivantes : $$\left\{ \begin{array}{l} u_1=u_2=1\\ u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}\textrm{ pour tout }n\geq 2. \end{array}\right.$$ On peut facilement prouver que le rapport $u_n/u_{n-1}$ tend vers le nombre d'or, c'est-à-dire que pour $n$ grand, d'une génération à l'autre, on multiplie le nombre de lapins par à peu près le nombre d'or! Les premiers termes de la suite sont 1,1,2,3,5,8,13,21,44,... Ce sont des nombres que l'on voit souvent apparaître dans la nature, par exemple quand on étudie le nombre de pétales d'une fleur ou les courbes tracées par les graines de tournesol.
- Le pentagone régulier et le pentagramme : dans un cercle, on peut inscrire deux pentagones réguliers : un pentagone régulier convexe (en rouge sur le dessin), et un pentagone régulier étoilé (en bleu).
On peut montrer que le rapport du côté du pentagone étoilé au côté du pentagone convexe est égal au nombre d'or. Le pentagone régulier étoilé - qu'on appelle aussi pentagramme était le symbole des Pythagoriciens.
- Le décagone régulier : dans un cercle, on peut inscrire deux décagones réguliers, le décagone régulier convexe et le décagone régulier étoilé.
Le rapport du côté du décagone étoilé au rayon du cercle est égal au rapport du rayon du cercle par le côté du décagone convexe et est égal au nombre d'or!
Terminons par deux expressions du nombre d'or, presque aussi jolies que le nombre lui-même... $$\frac{1+\sqrt 5}2=1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}.$$