Nombres de Liouville

Un nombre irrationnel $a$ est un nombre de Liouville si, pour tout entier naturel $n$, il existe un nombre rationnel $p/q$ tel que $q\geq 2$ et $$\left|a-\frac pq\right|<\frac 1{q^n}.$$ Un nombre de Liouville est donc un nombre irrationnel qui est toutefois très proche des nombres rationnels. Il est remarquable qu'un nombre de Liouville est en réalité transcendant!

Il y a une infinité de nombres de Liouville. Un exemple remarquable est le nombre $$\sum_{n\geq 1}10^{-n!}= \frac 1{10^{1!}}+\frac1{10^{2!}}+\frac 1{10^{3!}}+\cdots$$ Ce nombre s'appelle la constante de Liouville. Plus généralement, pour tout entier $b > 1$ et toute suite $(a_k)_{k\geq 1}$ d'entiers compris entre $0$ et $b – 1$ non tous nuls à partir d'un certain rang, le réel $$x = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{b^{k!}}$$ est un nombre de Liouville. En particulier l'ensemble des nombres de Liouville a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il peut être mis en bijection avec $\mathbb R.$

Liouville est le premier en 1844 à avoir exhibé des nombres transcendants, les nombres de Liouville. Hermite a prouvé ensuite en 1873 que $e$ est transcendant, et Lindemann a fait de même pour $\pi$ en 1882. Toutefois, $e$ par exemple n'est pas un nombre de Liouville.