Formule du multinôme
La formule du multinôme est une extension de la formule du binôme de Newton où on cherche à développer une somme de plus de deux termes. Elle fait intervenir les coefficients multinomiaux.
Théorème : Soient $k\geq 1,$ $p\geq 0$ et $z_1,\dots,z_k$ des nombres complexes
(ou des éléments pris dans un anneau commutatif). On a l'identité multinomiale :
$$(z_1+\cdots+z_k)^p =\sum\binom{p}{n_1,n_2,\dots,n_k}z_1^{n_1}\cdots z_k^{n_k},$$
où la sommation est étendue à l'ensemble des suites $(n_1,\dots,n_k)$ d'entiers satisfaisant :
$$n_1,\dots,n_k\geq 0\textrm{ et }n_1+\cdots+n_k=p.$$
Les coefficients multinomiaux qui interviennent valent : $$\binom{p}{n_1,n_2,\dots,n_k}=\frac{p!}{n_1!\cdots n_k!}.$$
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