Fonctions multiformes et surfaces de Riemann

En général, la définition d'une fonction fait qu'à une valeur de la variable correspond une seule valeur de la fonction. Dans certains cas, cela n'est pas très naturel. Prenons la fonction racine carrée sur l'ensemble des complexes $\mathbb C$. Si on la note $f$, elle vérifie $(f(z))^2=z$. Si $z$ est non nul, il existe deux valeurs possibles pour $f(z)$, et il n'y a pas de raison de préférer l'une à l'autre. On parle alors de fonction $f$ multiforme : à une valeur de la variable correspond plusieurs images.

Les calculs faisant intervenir des fonctions multiformes sont parfois lourds et compliqués. Riemann a l'idée de transformer les fonctions multiformes en fonctions uniformes (un point n'a qu'une seule image), en modifiant le domaine de définition. Il recolle pour cela continûment plusieurs représentations du domaine de définition, les feuillets, et obtient le concept de surface de Riemann.