Lemme de Morse
Si $Q$ est une forme quadratique sur $\mathbb R^n$, la loi d'inertie de Sylvester dit qu'il existe un entier $r$ et une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $\mathbb R^n$ tels que, pour tout vecteur $x=x_1e_1+\cdots+x_ne_n$ de $\mathbb R^n$, on ait $$Q(x)=x_1^2+\cdots+x_r^2-x_{r+1}^2-\cdots-x_n^2.$$ Le lemme de Morse est une version en géométrie différentielle de ce résultat.
Théorème : Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ définie sur un ouvert $U$
de $\mathbb R^n$ contenant $0$ à valeurs dans $\mathbb R$ vérifiant $f(0)=0$ et $df_0=0$. On suppose que la matrice hessienne
de $f$ en $0$ définie par
$$H=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(0)\right)_{1\leq i,j\leq n}$$
est inversible et on note $r\in\mathbb N$ tel que la signature de la forme quadratique associée à $H$ soit $(r,n-r)$.
Alors il existe un $\mathcal C^\infty$-difféomorphisme $u=(u_1,...,u_n)$
défini sur un voisinage ouvert $V$ de $0$ tel que, pour tout $x\in V$, on a
$$f(x)=u_1^2(x)+\cdots+u_r^2(x)-u_{r+1}^2(x)-\cdots -u_n^2(x).$$
Ce résultat exprime que, localement autour d'un point critique, à un changement de coordonnées près, le graphe de $f$ est celui de la forme quadratique associée à sa hessienne en ce point. Le lemme de Morse reste valable si on suppose simplement que $f$ est $\mathcal C^k$, avec $k\geq 3$. Dans ce cas, on obtient que le difféomorphisme est de classe $\mathcal C^{k-2}$.
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