Moments d'une variable aléatoire - Fonction génératrice des moments
Si $X$ est une variable aléatoire, on appelle moment d'ordre $k$, s'il existe, le réel $E(X^k).$ Par exemple, l'espérance d'une variable aléatoire est son moment d'ordre 1. Si $X$ est une variable aléatoire discrète finie, son moment d'ordre k se calcule par la formule : $$m_k=\sum_{i=1}^q x_i^k P(X=x_i).$$ Si $X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$, alors ce même moment se calcule de la façon suivante : $$m_k=\int_{\mathbb R}x^k f(x)dx.$$
Il existe encore différents types de moments :
- le moment centré d'ordre $k$ : $$\mu_k=E\left((X-E(X))^k\right).$$ La variance d'une variable aléatoire est donc son moment centré d'ordre 2.
- le moment factoriel d'ordre $k$ : $$E(X(X-1)\cdots (X-k+1)).$$
Si $X$ est une variable aléatoire, on appelle fonction génératrice des moments la fonction : $$g(u)=E(e^{ux}).$$
La terminologie fonction génératrice des moments est bien appropriée. Si cette fonction est définie dans un voisinage de l'origine, alors :
- $X$ admet des moments de tous les ordres (entiers positifs).
- $g$ est développable en série entière dans un voisinage de l'origine et son développement est : $$g(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(X^k)}{k!}t^k.$$ En particulier, le moment d'ordre $k$ $E(X^k)$ est égal à $g^{(k)}(0)$.
Réciproquement, si la série $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(|X|^k)}{k!}t_0^k$$ converge, alors $X$ admet une fonction génératrice des moments définie au moins sur $]-t_0,t_0[.$
De plus, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires ont même fonction génératrice des moments définie sur un intervalle ouvert contenant $0$, alors $X$ et $Y$ ont même loi.
Les moments font partie des caractères de dispersion d'une variable aléatoire.