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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Courbes et figures remarquables >

Ruban de Möbius

Prenez un rectangle de papier et coller les deux extrémités après avoir fait subir à cette bande une torsion de 180° (un demi-tour) selon son axe longitudinal et ainsi retourné face pour face l'une de ses extrémités. Vous venez de fabriquer une des plus fascinantes surfaces des mathématiques : le ruban de Möbius.

Le ruban de Möbius est une surface vraiment mystérieuse : elle n'est pas orientable. On ne peut pas la parcourir et dire si l'on est à l'intérieur ou à l'extérieur (ou vers le haut/vers le bas...) car on passe d'un extrême à l'autre de façon continue. Cette surface est à l'origine de nombreux contre-exemples de la sorte en géométrie différentielle ou en topologie algébrique.

Un paramétrage possible du ruban de Möbius est donné par l'application suivante :

Cette surface apparait dans un mémoire que Möbius envoie à l'académie des Sciences en 1858, mais il n'est pas le premier à l'avoir découverte. Elle est étudiée dans un travail de Johann Benedict Listing écrit quelques mois auparavant. Cependant, Möbius invente la notion de surface orientable, ce qui lui permet de mettre un signe devant les longueurs, aires et volumes.
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