Fonction et formule d'inversion de Möbius
Définition : La fonction de Möbius
$\mu:\mathbb N^*\to\{-1,0,1\}$ est la fonction définie par
- $\mu(1)=1$;
- si $n$ a un facteur carré, alors $\mu(n)=0$;
- si $n$ est le produit de nombres premiers tous distincts, $n=p_1\cdots p_k$, alors $\mu(n)=(-1)^k$.
Ainsi, $\mu(2)=-1$, $\mu(4)=0$, $\mu(6)=1$. La fonction $\mu$ vérifie la propriété suivante : $$\forall n>1,\ \sum_{d|n}\mu(d)=0.$$
La fonction de Möbius intervient notamment dans l'inversion de fonctions arithmétiques ou de séries de Dirichlet. Ceci est dû à la formule suivante :
Formule d'inversion de Möbius : Soit $f:\mathbb N^*\to\mathbb C$ et posons, pour $n\geq 1$,
$$g(n)=\sum_{d|n}f(d).$$
Alors
$$f(n)=\sum_{d|n}\mu\left(\frac nd\right)g(d).$$
On a même équivalence entre les deux égalités qui apparaissent dans le théorème précédent.
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