$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Inégalité de Minkowski

L'inégalité de Minkowski est le nom donné à plusieurs inégalités qui correspondent à l'inégalité triangulaire pour une norme ou pour une semi-norme.

Avec des sommes
Théorème : Soit $p\in[1,+\infty[$ et $u_1,\dots, u_n$, $v_1,\dots,v_n$ des nombres complexes. Alors $$\left(\sum_{k=1}^n \vert u_k+v_k\vert^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{k=1}^n \vert u_k\vert^p\right)^{1/p}+ \left(\sum_{k=1}^n \vert v_k\vert^p\right)^{1/p}.$$

L'inégalité est encore vraie pour $p=+\infty$ sous la forme $$\sup_{k=1,\dots,n} |u_k+v_k|\leq \sup_{k=1,\dots,n}|u_k|+\sup_{k=1,\dots,n}|v_k|.$$

Avec des intégrales
Théorème : Soit $a<b$ des réels, soit $p\in[1,+\infty[$ et soit $f,g\in\mathcal C([a,b]).$ Alors $$\left(\int_a^b \vert f+g\vert^p\right)^{1/p}\leq \left(\int_a^b \vert f\vert^p\right)^{1/p}+\left(\int_a^b\vert g\vert^p\right)^{1/p}.$$

L'inégalité est encore vraie pour $p=+\infty$ sous la forme $$\sup_{x\in[a,b]} |f(x)+g(x)|\leq \sup_{x\in[a,b]}|f(x)|+\sup_{x\in[a,b]}|g(x)|.$$

Avec des formes quadratiques
Théorème : Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel, $q:E\to\mathbb R$ une forme quadratique positive. On a alors, pour tout $(x, y) \in E^2,$ $$\sqrt{q(x+y)}\leq \sqrt{q(x)} + \sqrt{q(y)}.$$

L'inégalité de Minkowski est une conséquence immédiate de l'inégalité de Schwarz. Elle exprime que si $q$ est positive, $S(x) = \sqrt{q(x)}$ définit une semi-norme. Si de plus $q$ est définie, $S$ est une norme (on dit alors que $\phi,$ la forme bilinéaire symétrique associée à $q,$ est un produit scalaire). Elle est encore vraie si $E$ est un $\mathbb C$-espace vectoriel et si $q(x)=\phi(x,x)$ avec $\phi$ une forme hermitienne positive sur $E.$

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