$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Développement d'un déterminant

Si $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$, si $1\leq i,j\leq n$, on appelle mineur du couple $(i,j)$ le déterminant de la matrice où on a barré la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne. Si ce mineur est noté $M_{i,j}$, le cofacteur du couple $(i,j)$ est $C_{i,j}=(-1)^{i+j} M_{i,j}.$

Pour déterminer le signe du cofacteur, on utilise le tableau suivant : $$\left| \begin{array}{ccccc} +&-&+&\dots&\dots\\ -&+&-&\dots&\dots\\ +&\dots&\dots\\ \vdots&\vdots& \end{array}\right|.$$ Les cofacteurs permettent de réaliser le développement selon une ligne ou une colonne des déterminants :

Théorème : Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carrée d'ordre $n$, $(C_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ ses cofacteurs. Alors on a :
  • développement par rapport à la $i$-ème ligne : $$\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}C_{i,j}.$$
  • développement par rapport à la $j$-ème colonne : $$\det(A)=\sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{i,j}.$$

Dans l'exemple suivant, on a réalisé le développement par rapport à la $2$-ème ligne :

Cette formule de développement suivant une ligne ou une colonne est due à Laplace.
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