Développement d'un déterminant
Si $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$, si $1\leq i,j\leq n$, on appelle mineur du couple $(i,j)$ le déterminant de la matrice où on a barré la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne. Si ce mineur est noté $M_{i,j}$, le cofacteur du couple $(i,j)$ est $C_{i,j}=(-1)^{i+j} M_{i,j}.$
Pour déterminer le signe du cofacteur, on utilise le tableau suivant : $$\left| \begin{array}{ccccc} +&-&+&\dots&\dots\\ -&+&-&\dots&\dots\\ +&\dots&\dots\\ \vdots&\vdots& \end{array}\right|.$$ Les cofacteurs permettent de réaliser le développement selon une ligne ou une colonne des déterminants :
Théorème : Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carrée d'ordre $n$, $(C_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$
ses cofacteurs. Alors on a :
- développement par rapport à la $i$-ème ligne : $$\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}C_{i,j}.$$
- développement par rapport à la $j$-ème colonne : $$\det(A)=\sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{i,j}.$$
Dans l'exemple suivant, on a réalisé le développement par rapport à la $2$-ème ligne :
Cette formule de développement suivant une ligne ou une colonne est due à Laplace.
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