Méthode de la puissance inverse
La méthode de la puissance inverse est un algorithme permettant de calculer la valeur propre de plus petit module d'une matrice, ou, plus généralement, la valeur propre la plus proche d'un nombre complexe donné. Elle est basée sur la méthode de la puissance itérée appliquée à l'inverse de la matrice $A.$
Précisément, soit $A$ une matrice d'ordre $n$ et soit $\lambda$ un nombre complexe. On cherche à déterminer la valeur propre de $A$ la plus proche de $\lambda.$ Pour cela, on définit une suite de vecteurs $(x_n)$ par la relation de récurrence $$(A-\lambda I)x_{n+1}=x_n.$$ Alors, sous l'hypothèse qu'il existe une seule valeur propre, notée $\mu,$ qui est la plus proche de $\lambda$ et que cette valeur propre est simple, alors $(\langle x_{n+1},x_n\rangle)$ converge vers $\mu$ et $\displaystyle \left(\frac{x_n}{\|x_n\|}\right)$ converge vers un vecteur propre associé. En général, pour résoudre à chaque étape le système, on ne calcule pas l'inverse de la matrice $(A-\lambda I),$ mais on réalise sa décomposition LU.