Mesure signée, mesure complexe
Soit $(\Omega,\mathcal A)$ un espace mesurable. On appelle mesure signée sur $(\Omega,\mathcal A)$ tout application $\mu:\mathcal A\to \overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$ telle que
- $\mu(\varnothing)=0.$
- pour tout suite $(A_n)$ d'éléments de $\mathcal A$ deux à deux disjoints, $\sum_{n\geq 0}\mu(A_n)$ est définie dans $\overline{\mathbb R}$ et $$\mu\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(A_n).$$
De façon équivalente, une mesure signée est la différence de deux mesures (positives), l'une des deux étant finie. Cette décomposition est unique et s'appelle décomposition de Jordan de la mesure $\mu.$
Une mesure signée $\mu$ est finie si $\mu$ est à valeurs dans $\mathbb R.$
On étend la notion de mesure signée finie aux mesures à valeurs complexes. On appelle mesure complexe sur $(\Omega,\mathcal A)$ tout application $\mu:\mathcal A\to \mathbb C$ telle que
- $\mu(\varnothing)=0.$
- pour tout suite $(A_n)$ d'éléments de $\mathcal A$ deux à deux disjoints, $\sum_{n\geq 0}\mu(A_n)$ converge et $$\mu\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(A_n).$$
De façon équivalente, une mesure complexe est une application $\mu:\mathcal A\to\mathbb C$ qui peut s'écrire sous la forme $\mu=\mu_1+\mu_2,$ où $\mu_1$ et $\mu_2$ sont des mesures signées finies appelées respectivement partie réelle et partie imaginaire de $\mu.$
Exemple : Si $f\in\mathcal L^1(\mathbb R)$, alors la mesure $$\mu(A)=\int_A f(x)dx$$ est une mesure complexe sur $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)).$