$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Mesures étrangères

Soit $(X,\mathcal A)$ un espace mesurable et $\mu$, $\nu$ deux mesures sur $(X,\mathcal A)$. On dit que $\mu$ et $\nu$ sont étrangères ou mutuellement singulières s'il existe $E\in\mathcal A$ tel que, pour tout $A\in\mathcal A$, $$\left\{ \begin{array}{l} \mu(A)=\mu(A\cap E)\\ \nu(A)=\nu(A\cap E^c) \end{array}\right.$$ On note $\mu\perp \nu.$

Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\nu)$ un espace mesuré tel que $\nu$ est une mesure (positive) $\sigma$-finie. Soit $\mu$ une mesure $\sigma$-finie (resp. complexe) sur $(X,\mathcal A).$ Alors il existe un unique couple $(\mu_1,\mu_2)$ de mesures $\sigma$-finies (resp. complexes) tel que
  • $\mu=\mu_1+\mu_2$
  • $\mu_1$ est absolument continue par rapport à $\nu$
  • $\mu_2$ et $\nu$ sont étrangères.
Ceci s'appelle la décomposition de Radon-Nikodym de $\mu$ par rapport à $\nu$, ou décomposition de Lebesgue.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Recherche thématique
  • Algèbre
  • Analyse
  • Applications
  • Arithmétique
  • Probabilité et statistiques
  • Géométrie
  • Fondements
  • Histoire
  • Mathématiques discrètes
  • Mathématiques interactives