Mesure régulière
Soit $X$ un espace métrique, muni de la tribu borélienne $\mathcal B$ et d'une mesure $m.$ On dit que la mesure est régulière si, pour toute partie mesurable $A,$ on a : \begin{eqnarray*} m(A)&=&\inf\{m(O):\ O\textrm{ ouvert contenant }A\}\\ &=&\sup\{m(K):\ K\textrm{ compact contenu dans }A\}. \end{eqnarray*}
Exemples :
- la mesure de Lebesgue sur $\mathbb R^n$ est une mesure régulière.
- pour $X=\mathbb R$, on considère la mesure $m$ associée à la fonction $f$ définie par $f(x)=1/x$ pour $x>0,$ $f(x)=0$ sinon. Autrement dit, on a : $$m(A)=\int_{\mathbb R_+}\mathbf 1_A(x)\frac{dx}x.$$ Cette mesure n'est pas régulière. Prenons par exemple $A=]-\infty,0].$ On a $m(A)=0.$ Maintenant, si $O$ est un ouvert contenant $A,$ $O$ contient un intervalle du type $[0,a[,$ avec $a>0,$ et donc $m(O)=+\infty.$
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