Mesure image
Définition : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré, soit $(Y,\mathcal B)$ un espace mesurable,
et soit $f:(X,\mathcal A)\to (Y,\mathcal B)$ une application mesurable. Alors l'application $\mu_f$ définie sur
les éléments de $\mathcal B$ par
$$\mu_f(B)=\mu\big(f^{-1}(B)\big)$$
est une mesure sur $(Y,\mathcal B)$. On l'appelle la mesure image de $\mu$ par $f$.
Pour calculer l'intégrale d'une fonction par rapport à la mesure image, on dispose de la formule
du changement de variables :
Théorème : Soit $g:(Y,\mathcal B)\to \mathbb R$ mesurable. Alors $g$ est intégrable par rapport à $\mu_f$ si et seulement si
$g\circ f$ est intégrable par rapport à $\mu$. Dans ce cas, on a
$$\int_Y gd\mu_f=\int_X g\circ f d\mu.$$
La notion de mesure image est au centre de la théorie des lois des variables aléatoires. En effet, si $X$ est une variable aléatoire
définie sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, la loi de $X$ n'est autre que la mesure image de $\mathbb P$ par $X$.
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