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Mésolabe d'Eratosthène

Pour les Grecs, l'un des problèmes les plus importants était la duplication du cube, c'est-à-dire, étant donné un cube, fabriquer un cube de volume double. Autrement dit, si l'arête du premier cube mesure $c,$ et celle du second $C,$ il faut que $C^3=2c^3.$ Le mésolabe d'Eratosthène est un instrument permettant une telle construction (approchée), à l'aide de l'insertion de moyennes proportionnelles. Soit en effet la figure suivante :

$AB$ est le côté du premier cube. $GHJK$ est un rectangle tel que $A$ est sur $[GK]$, $(GH)$ et $(AB)$ sont parallèles et $GH$ vaut le double de $AB.$ On insère entre $A$ et $G$ deux points $C$ et $E.$ On construit alors le triangle rectangle $EHE_1$ comme sur la figure ci-dessous, puis on translate ce triangle le long de la droite $(GK)$ en $C$ et en $A.$ On note $F$ le point d'intersection de l'hypoténuse du triangle issu de $E$ avec $(EE_1),$ puis $D$ le point d'intersection de l'hypoténuse du triangle issu de $C$ avec $(CC_1).$ Supposons maintenant que l'on ait réussi à disposer les points $C$ et $E$ de sorte que l'on soit dans la configuration particulière suivante, c'est-à-dire que $H,F,D,K$ et $B$ soient alignés.

Le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle $CDK$ donne $$\frac{AB}{CD}=\frac{KA}{KC}.$$ D'autre part, toujours d'après le théorème de Thalès, mais cette fois dans le triangle $KCF,$ on a $$\frac{KA}{KC}=\frac{KD}{KF}.$$ Une dernière application du théorème de Thalès dans le triangle $KEF$ donne $$\frac{KD}{KF}=\frac{CD}{EF}.$$ Ainsi, on a prouvé que $$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}.$$ Exactement de la même façon, on montre l'égalité $$\frac{CD}{EF}=\frac{EF}{GH}.$$ Ainsi, on a $$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}=\frac{EF}{GH}$$ ce qui implique $$\left(\frac{AB}{CD}\right)^3=\frac{AB}{GH}.$$ Maintenant, puisqu'on a $\frac{AB}{GH}=\frac 12,$ on a $CD^3=2AB^3,$ et on a réalisé la duplication du cube! Le problème maintenant est de réussir à aligner les points $H,F,D,B$ et $K.$ Dans le mésolabe, les points $C$ et $E$ sont mobiles, et il faut réussir à tout aligner. Essayez donc avec la figure suivante, et vous verrez que ce n'est pas si facile!

L'idéal pour les grecs aurait été de réussir la duplication du cube à partir de la règle et du compas, qui seul sont les instruments qui permettent une construction juste. Hélas, ils n'y parvinrent pas, et pour cause! On sait depuis le XIXè siècle qu'il s'agit là d'un problème impossible!
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