$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Mertens

Théorème : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres complexes telles que
  1. la série $\sum_n u_n$ soit absolument convergente;
  2. la série $\sum_n v_n$ soit convergente.
Alors le produit de Cauchy de ces deux séries, c'est-à-dire la série de terme général $$w_n=\sum_{k=0}^n u_kv_{n-k}$$ est une série convergente et on a : $$\sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n\right) .$$

Si on ne suppose pas que l'une des deux séries est absolument convergente, alors le produit de Cauchy n'est pas toujours convergent. C'est le cas par exemple si $$u_n=v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}.$$

Le théorème de Mertens admet la réciproque suivante : si la série $\sum_n u_n$ est telle que son produit de Cauchy par toute série convergente est convergente, alors la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente.

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